Question

一些关于中位线的初三数学题，求详细的解答过程，在线等,急急急！

1.从ABCD的顶点A,B,C,D向形外的任意直线MN引垂线AA’，BB’CC 'DD'垂足分别为A'B'C'D',求证AA'+CC'=BB'+DD'

2.在三角形ABC中，AH⊥BC于H,D,E,F分别是BC,CA,AB的重点，求证：∠DEF=∠HFE

3.梯形ABCD中，AD‖BC，点E是AB的重点，连接EC，ED，
CE⊥ DE，CD，AD与BC三条线段之间有什么样的数量关系

4.四边形ABCD中，AB＝CD，M，N分别是AD，BC的中点，延长BA，CD分别交于E，F．试说明∠BEN＝∠NFC

Answer 1

1.楼上已证

2.
因为 AH⊥BC，F是AB的中点
所以 FH-BF=AF
所以 角FHB=角B
因为 D,E,F分别是BC,CA,AB的中点
所以 FE//BD，DE//AB
所以 FBDE是平行四边形
所以 角DEF=角B
因为 FE//BD
所以 角HFE=角FHB
因为 角FHB=角B
所以 角HFE=角B
因为 角DEF=角B
所以 角DEF=角HFE

3.取DC的中点F，连接EF
因为 CE⊥ DE
所以 EF=DF=CF=1/2CD
因为 梯形ABCD中，AD‖BC，点E是AB的中点
所以 EF是梯形ABCD的中位线
所以 EF=1/2(AD+BC)
因为 EF=1/2CD
所以 CD=AD+BC

4.BN=NC，则把三角形NCF绕点N旋转至三角形NBG，与D，M对应的点是D'，M'
连接AD'，D'M'，则BD'=DC,D'M'=DM
因为 三角形NBG由三角形NCF绕点N旋转得
所以 三角形MDF全等于三角形M'D'F
所以 角FMD=角GM'D'
所以 D'M'//AM
因为 AM=DM，D'M'=DM
所以 D'M'=AM
因为 D'M'//AM
所以 AD'M'M是平行四边形
所以 AD'//EG
所以 角BAD'=角BEN，角BD'A=角BGN
因为 AB=DC，BD'=DC
所以 AB=BD'
所以 角BAD'=角BD'A
因为 角BAD'=角BEN，角BD'A=角BGN
所以 角BEN=角BGN
因为 三角形MDF全等于三角形M'D'F
所以 角BGN=角NFC
因为 角BEN=角BGN
所以 角BEN=角NFC

Answer 2

1.
因为MN垂直于AA'BB'，CC 'DD'垂足分别为A'B'C'D'
所以四边形A'B'C'D'是矩形
所以A'D'//B'C'.A'B'//D'C'。A'D'=B'C'.
因为∠DAB=∠DCB ∠ADC=∠ABC 所以四边形ABCD是平行四边形
所以AD=BC 。AA'=CC'.BB'=DD'
所以AA'+CC'=BB'+DD'