Question

证明：方程x^3-3x+1=0在区间[0,1]上不可能有两个不同的根。

Answer 1

假设方程在区间[0,1]上有两个不同的根a，b
则a^3-3a+1=0(1),
b^3-3b+1=0(2)
(1)-(2),得(a^3-b^3)-3(a-b)=0
(a-b)(a^2+b^2+ab-3)=0
因为a!=b,所以a^2+b^2+ab-3=0
又因为0<=a,b<=1
所以0<=a^2，b^2<=1,0<ab<1
所以a^2+b^2+ab<3即a^2+b^2+ab-3!=0
矛盾！
所以方程在区间[0,1]上没有两个不同的根

点评：典型的反证法。