Question

设x>0,y>0且x+2y=1,求1/x+1/y的最小值

Answer 1

1/x+1/y
=(1/x+1/y)(x+2y) 因为x+2y=1
=1+2y/x+x/y+2

x>0,y>0,所以2y/x+x/y>=2√(2y/x*x/y)=2√2
当2y/x=x/y时取等号
x^2=2y^2
x=√2y
√2y+2y=1,有正数解
所以等号能取到
所以1/x+1/y=1+2y/x+x/y+2>=3+2√2
所以最小值=3+2√2

Answer 2

(1/x+1/y)*1=(1/x+1/y)*(x+2y)=3+2y/x+x/y,
∵x>0,y>0,2y/x+x/y≥2√(2y/x*x/y)=2√2,
有且只有当2Y/X=X/Y时,取等号,此时,X=1-√2,Y=√2/2-1,
∴1/x+1/y=3+2y/x+x/y≥3+2√2.

Answer 3

1/x+1/y
=(x+2y)/x+(x+2y)/y
=1+2y/x+x/y+2
=3+2y/x+x/y
≥3+2√(2y/x*x/y)
=3+2√2

1/x+1/y的最小值=3+2√2