Question

微积分求隐函数导数高手进

方程为x的y次方加y的x次方等于3，求曲线在（1，2）的切线方程。

Answer 1

x的y次方，y的x次方的导数可以用对数求导法求，或者看作复合函数.

x^y＋y^x＝3
e^(ylnx)＋e^(xlny)＝3
e^(ylnx)×[y'lnx＋y/x]＋e^(xlny)×[lny＋xy'/y]＝0
x^y×[y'lnx＋y/x]＋y^x×[lny＋xy'/y]＝0
代入x＝1，y＝2，得y'＝-2-2ln2
所以，切线方程是y－2＝－（2+2ln2）(x－1)，即y＝－(2+2ln2)x－2ln2＋4

Answer 2

x^y+y^x=3，两边求微分，有d(x^y)+d(y^x)=0
即y*x^(y-1)dx+x^ylnxdy+x*y(x-1)dy+y^xlnydx=0,
整理得，dy/dx=-(y^xlny+y*x^(y-1))/(x^ylnx+x*y^(x-1))
代入点（1，2），得dy/dx| (x=1,y=2) =-(2ln2+2)
切线方程为y-2=-(2ln2+2)(x-1)