Question

. 设e< a<b<e^2, 证明：(lnb)^2-(lna)^2 >4/e^2(b-a)

. 设e< a<b<e^2, 证明：(lnb)^2-(lna)^2 >4/e^2(b-a)

Answer 1

设f(x)=(lnx)^2
一阶导数是f'(x)=2(lnx)/x
二阶导数是f''(x)=2(1-lnx)/x^2
由微分中值定理：存在ξ，其中a<ξ<b，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a）.
又因为当x>e时,f''(x)<0,因此f'(x)在x>e时是减函数，由于e<ξ<e^2,所以有
f'(ξ)>f'(e^2)
于是f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)>f'(e^2)(b-a)
即:(lnb)^2-(lna)^2 >(4/e^2)(b-a)