Question

对于函数y=f(x)(x∈D,D是此函数的定义域),若同时满足下列条件

①f(x)在D内单调递减或单调递增,②存在区间[a,b]含于D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么把y=f(x)(x∈D)叫闭函数.
⑴求闭函数y=-x^3符合条件②的区间[a,b]
⑵判断函数f(x)=(3/4)*x+1/x(x>0)是否为闭函数?并说明理由
⑶若y=k+根号(x+2)是闭函数,求实数k的取值范围.
请告诉我答案及解题过程!!!谢谢!!!

Answer 1

解：(1)、易得：y=-x^3是[a，b]上的减函数
∴f(a)=-a^3=b
f(b)=-b^3=a
∴f(b)/f(a)=a/b=-b^3/-a^3
∴a/b=±1
又∵－a^3=b，
∴a=-1，b=1
∴所求区间为[－1，1]
(2)、∵f ′(x)=3/4-1/x^2，x∈(0，＋∞)，
令f ′(x)=3/4-1/x^2＞0，得x＞(2/3)√3
∴x＞(2/3)√3时，f(x)为（(2/3)√3 ，＋∞）上的增函数。
令f ′(x)=3/4-1/x^2＜0，得0＜x＜(2/3)√3
∴f(x)为（0，(2/3)√3 ）上的减函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的单调函数．
∴f(x)不是（0，＋∞）上的闭函数．
(3)、易知f(x)=k+√(x+2)是[－2，＋∞)上的增函数．由√(x+2)≥0，得f(x)≥k (*)
设f(x)=k＋√(x+2)满足条件②的区间是[a，b]
则f(a)=a,f(b)=b，由此可知
方程f(x)=x的两根是a，b，且a≠b
整理方程f(x)=x得
x^2-(2k+1)x+k^2-2=0
△=(2k+1)^2-4(k^2-2)=4k+9
令△＞0，解得k＞-9/4
x1=[(2k+1)-√(4k+9)]/2，x2=[(2k+1)+√(4k+9)]/2
由(*)得x1≥k，解得-9/4≤k≤-2
由√(x+2)≥0得x+2≥0，即x1≥-2，解得k≥-9/4
综上，函数y=k+√(x+2)为闭函数，k的取值范围是-9/4＜k≤-2

Answer 2

闭函数????????
有笔误啊
把题目从新看下