Question

设函数Y=f(x)是定义域在R+上的函数，并且满足下面三个条件

(1)对任意正数X.Y，都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时，f(x)<0;(3) f(3)=-1

1。如果不等式f（X）+f（2-X）小于2成立，求X取值范围
2。如果存在正数K，使f（KX）+f（2-X）小于2有解，求正数K取值范围

Answer 1

解：
（1）设0＜x1＜x2，则
∵x，y对任意实数都有：f（xy）=f（x）+f（y）
既然x，y可以是任意实数，那么令x=x2/x1，y=x1有：
f（（x2/x1）x1）=f（x2/x1）+f（x1）
即：f（x2）=f（x2/x1）+f（x1）
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-[f（x2/x1）+f（x1）]=-f（x2/x1）
又x＞1时，f（x）＜0
∵0＜x1＜x2，∴x2/x1＞1，∴f（x2/x1）＜0
∴-f（x2/x1）＞0
∴f（x1）-f（x1）＞0
∴f（x）在R+上是减函数；

又令x=y=1有：f（1*1）=f（1）+f（1）即：f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x=3，y=1/3有：f（3*1/3）=f（3）+f（1/3）即：f（1）=f（3）+f（1/3）
又f（1）=0，f（3）=-1， ∴f（1/3）=1
∴f（1/9）=f（（1/3）(1/3)）=f(1/3)+f(1/3)=2
不等式f（x）+f（2-x）＜2
∵令x=x，y=2-x有：f（x）+f（2-x）=f（x*（2-x））=f（2x-x²）
而f（1/9）=2
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等价于：f（2x-x²）＜f（1/9）
又f（x）在R+上是减函数；
∴不等式等价于2x-x²＞1/9
9x²-18x+1＜0解：9-6√2＜x＜9+6√2
又f（x）定义在R+上，所以要使f（x），f（2-x）有意义
需要x＞0,2-x＞0， 0＜x＜2
∴总得：9-6√2＜x＜2
(2)根据（1）的思路：
f（kx）+f（2-x）＜2等价f（2kx-kx²）＜f（1/9）等价2kx-kx²＞1/9
k（2x-x²）＞1/9
∵x＞0,2-x＞0，∴0＜x＜2，∴2x-x²=x（2-x）＞0
∴k＞1/9（2x-x²）

又2x-x²=-（x-1）²+1≤1
∴1/（2x-x²）≥1
∴1/9（2x-x²）≥1/9
要使k＞1/9（2x-x²）有解就是有x满足此不等式，需要；k＞1/9；

评：本题难点在于能够想到利用函数单调性来解题，同时能够恰当赋值得到结果。