Question

如图,三角形ABC的三条内角平分线相交于点O,过点O作OE垂直于BC

（1）求证：角BOC=角COE
（2）如果AB=17，AC=8，BC=15，利用三角形内心性质及相关知识，求OE长。

Answer 1

1、∵∠AFO=∠FBC+∠ACB=1/2∠ABC+∠ACB，
∴∠AOF=180°-（∠DAC+∠AFO）
=180°-[1/2∠BAC+1/2∠ABC+∠ACB]
=180°-[1/2（∠BAC+∠ABC）+∠ACB]
=180°-[1/2（180°-∠ACB）+∠ACB]
=180°-[90°+1/2∠ACB]
=90°-1/2∠ACB，
∴∠BOD=∠AOF=90°-1/2∠ACB，
又∵在直角△OCE中，∠COE=90°-∠OCD=90°-1/2∠ACB，
∴∠BOD=∠COE．
2、∵AB²=17²=289
BC²+AC²=15²+8²=189
∴AB²=AC²+BC²
∴△ABC是直角三角形
∴S△ABC=1/2AC×BC=1/2×8×15=60
∵O到三边距离相等
∴1/2AB×OE+1/2BC×OE+1/2AC×OE=60
∴OE(AB+BC+AC)=120
OE=120/(17+15+8)=3