Question

平面曲线的弧长与曲线积分的关系

同济版高等数学上册在讲定积分的时候有提到平面曲线的弧长，而下册在多元积分又提到了曲线积分，这两个积分公式在形式上有一定相似性，我想从概念上了解他们的含义

上图是平面上弧长的计算

上图是（第一类）曲线积分

他们的差别该怎么去理解呢？
请从平面过渡到立体的这个层次来解释





Answer 1

第一个图片当中，你手写的那两个式子有明显错误，这说明你没有理解ds的含义，曲线弧长ds实际上就是√[(Δx)^2+(Δy)^2],在微分的情况下Δx=dx,Δy=f'(x)dx,最终结果就是ds=dx√(1+f'(x)^2)

若换x，y换成t的参数方程也是这么理解

追问

多谢指正。第二张图是第一类曲线积分，它和平面弧微分之间差一个f(x，y)，我想知道他们为什么有这种很相似的区别

追答

我在这里举个例子帮助你理解，如果有一个曲线L:f(x)不是均质的（也就是说每处的线密度是不一样的），它的线密度函数是F(x,y),那么曲线上某段的质量就是F(x,y)ds，若以x作为t作为参数，那么L的表达式就是x=x,y=f(x),ds=dx√(1+f'(x)^2)，F(x,y)=F(x,f(x))
F(x,y)ds=F(x,f(x))√(1+f'(x)^2)dx,确定参数的目的就是将每一段的ds确定其线密度

补充一下，如果仅仅对ds积分，结果是曲线长度；如果是对f(x，y)ds积分得到的结果可能是质量、重量或者其他

追问

就是说ds表示微元长度，ds*f(x,y)就是长度乘以线密度函数表示微元质量，这样理解吗

追答

恩，是这样理解的

追问

谢谢。理解了！