Question

已知函数f（x）=ex-e-x-2x．

已知函数f（x）=ex-e-x-2x．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；
（Ⅲ）估计ln2的近似值（精确到0.001）

主要是最后一步 为什么那样放缩http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/ea4f493b-c145-430f-923a-eaac80256496
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Answer 1

解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=ex+e-x-2≥2
ex•e−x
−2＝0，
即f'（x）≥0，当且仅当ex=e-x即x=0时，f'（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数．
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，
则g'（x）=2[e2x+e-2x-2b（ex+e-x）+（4b-2）]
=2[（ex+e-x）2-2b（ex+e-x）+（4b-4）]
=2（ex+e-x-2）（ex+e-x-2b+2）．
①∵ex+e-x≥2，ex+e-x+2≥4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜ex+e-x＜2b-2即0＜x＜ln(b−1+
b2−2b
)时，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，当0＜x≤ln(b−1+
b2−2b
)时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．
（Ⅲ）∵1.4142＜
2
＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x-e-2x-4b（ex-e-x）+（8b-4）x，
为了凑配ln2，并利用
2
的近似值，故将ln
2
即
1
2
ln2代入g（x）的解析式中，
得g(ln
2
)＝
3
2
−2
2
b+2(2b−1)ln2．
当b=2时，由g（x）＞0，得g(ln
2
)＝
3
2
−4
2
+6ln2＞0，
从而ln2＞

8
2
−3

12
＞
8×1.4142−3
12
＝0.6928；
令ln(b−1+
b2−2b
)＝ln
2
，得b＝

3
2

4
+1＞2，当0＜x≤ln(b−1+
b2−2b
)时，
由g（x）＜0，得g(ln
2
)＝−
3
2
−2
2
+(3
2
+2)ln2＜0，得ln2＜

18+
2

28
＜
18+1.4143
28
＜0.6934．
所以ln2的近似值为0.693．

Answer 2

．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．
2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．
3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为
2
的范围的端点值，达到了估值的目的．