设A为4阶矩阵，满足条件AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值
设A为4阶矩阵，满足条件AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．...
设A为4阶矩阵，满足条件AAT=2E，|A|＜0，其中E是4阶单位矩阵．求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．
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特征值为：-2√2。
求解过程如下：
∵AAT=2E，
∴两边取行列式有|A|2=|A||AT|=|2E|=16，
又：|A|＜0，∴|A|=-4，
由于AAT=2E，故(A/√2)(A/√2)T=E，
因而：A/√2是正交矩阵，
∴A/√2的特征值是1或-1，
又因为：|A|＝∏λi，其中λi是矩阵A的特征值，
且|A|=-4＜0，
∴-1必是A/√2的特征值，
∴−√2必是A的特征值，
因为A为4阶矩阵，所以|A|=4，
由矩阵和其伴随矩阵的特征值的关系可知：
-|A|/√2是伴随矩阵A*的一个特征值，
即-4/√2=-2√2是伴随矩阵A*的一个特征值，
因此伴随矩阵A*的一个特征值为-2√2。
计算此题的重点在于了解矩阵和其伴随矩阵的特征值的性质。
扩展资料：
矩阵和其伴随矩阵的特征值的性质：
1、若A是正交矩阵，则A的实特征值是1或-1，A的复特征值的模为1；
2、若λ为A的特征值，且λ≠0，由于A的伴随矩阵A*的特征值是|A|/λ；
3、若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量；
4、若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
5、设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。
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∵AAT=2E，
∴两边取行列式有|A|2=|A||AT|=|2E|=16，
又：|A|＜0，
∴|A|=-4，
由于AAT=2E，
故(
| A | ||
|
| A | ||
|
因而：
| A | ||
|
∴
| A | ||
|
又因为：|A|＝∏λi，其中λi是矩阵A的特征值，
且|A|=-4＜0，
∴-1必是
| A | ||
|
∴?
| 2 |
从而：
| ?4 | ||
?
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