Question

已知y=loga（2-ax）在区间（0，1）上是x的减函数，求a的取值范围

已知y=loga（2-ax）在区间（0，1）上是x的减函数，求a的取值范围．

Answer 1

复合函数的增减性有以下规律：
如果f(x)与g(x)同为增函数/同为减函数，则f(g(x))为增函数。
如果f(x)与g(x)一个为增函数，一个为减函数，则f(g(x))为减函数。
在此题里可以看成f(x)=log_a(x)，g(x)=2-ax。由对数函数的定义，a作为底数必然大于0，因此g(x)是减函数，要想f(g(x))为减函数，f(x)应为增函数，即a>1。
另一方面，我们还需要保证函数在(0,1)上有意义，即2-ax在(0,1)上大于0，由于2-ax是减函数，只需保证在1处不小于0，即2-a≥0，即a≤2。
综上，a的取值范围是1<a≤2。

Answer 2

令y=loga^t，t=2-ax，
（1）若0＜a＜1，则函y=loga^t，是减函数，
由题设知t=2-ax为增函数，需a＜0，故此时无解；
（2）若a＞1，则函数y=loga^t是增函数，则t为减函数，
需a＞0且2-a×1＞0，可解得1＜a＜2
综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．