Question

已知正数a，b满足ab=a+b+3．（1）求a+b的取值范围； （2）求a+2b的取值范围

已知正数a，b满足ab=a+b+3．（1）求a+b的取值范围； （2）求a+2b的取值范围．

Answer 1

（1）∵正数a，b满足ab=a+b+3，∴a+b+3＝ab≤(

a+b

2

)2，
化为（a+b）²-4（a+b）-12≥0，即（a+b-6）（a+b+2）≥0，解得a+b≥6．
∴a+b的取值范围是[6，+∞）；
（2）∵正数a，b满足ab=a+b+3，∴b＝

a+3

a?1

（a＞1）．
∴a+2b=a+

2(a+3)

a?1

=a?1+

8

a?1

+3≥2

(a?1)? 8 a?1

+3=3+4

2

，当且仅当a=2

2

-1时取等号．
∴a+2b的取值范围是[3+4

2

，+∞)．