Question

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连

如图，已知△ABC，AC=BC=6，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G．（1）求∠ADG的度数；（2）求由DG、GE和ED所围成图形的面积（阴影部分）





Answer 1

（1）连接OD．
∵CD切⊙O于点D，
∴∠ODA=90°，∠DOA=45°，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD=

1

2

∠DOA=22.5°，
∴∠CDG=∠CDO-∠ODF=90°-22.5°=67.5°，
∴∠ADG=180°-∠CDG=112.5°；
（2）连OE，
∵⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为正方形，
∵AO=BO=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=3

2

，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=3

2

-3；
从而CG=CB+BG=3+3

2

；
∴S_阴影=S_△DCG-S_{正方形ODCE}+S_扇形ODE
=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=

1

2

×3×（3+3

2

）-（3²-

1

4

π?3²）
=

9π

4

+

9 2

2

-

9

2

．