Question

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点

设椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0），过F的直线交C于A，B两点，设点A关于y轴的对称点为A′，且|FA|+|FA′|=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A在第一象限，当△AFA′面积最大时，求|AB|的值．

Answer 1

（I）设F′是椭圆的右焦点，
由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．
解得a=2，
∵左焦点为F（-

2

，0），c=

2

，
∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）设A（x₁，y₁）（x₁＞0，y₁＞0），△AFA′面积S=

1

2

?2x1?y1=x₁y₁．
∵1＝

x 2 1

4

+

y 2 1

2

≥2×

x1

2

×

y1

2

=

2

2

S，
∴S≤

2

．
当△AFA′面积取得最大时，

x 2 1

4

＝

y 2 1

2

=

1

2

，解得x1＝

2

，y₁=1．
由F（-

2

，0），A(

2

，1)，可得直线AB的方程为：y＝

1

2 2

(x+

2

)，化为x?2

2

y+

2

=0，
设B（x₂，y₂），联立

x?2 2 y+ 2 ＝0 x2+2y2＝4

，解得

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