Question

如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠

如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④CDBD=1．其中正确的是（　　）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

Answer 1

解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=

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（180°-30°）=75°，
∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°∴①正确；
②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），
∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165-90=75°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC，∴②正确；
③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45-30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180-15-75=90°，
∴AD⊥BE．
④证明：如图，
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=

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AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC-∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，

∠CMD＝∠CND ∠MDC＝∠NCD CD＝CD

，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=

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AC=

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BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正确．
所以4个结论都正确．
故选D．