Question

已知：AB是⊙O的弦，D是 AB 的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．（1）求证：AD=DC；（

已知：AB是⊙O的弦，D是 AB 的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．（1）求证：AD=DC；（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE=EC，求sinC．

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Answer 1

（1）证明：连BD， ∵ BD = AD ， ∠A=∠ABD， ∴AD=BD；（2分） ∵∠A+∠C=90°，∠DBA+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC， ∴BD=DC， ∴AD=DC．（4分） （2）连接OD交AB于F， ∵DE为⊙O切线， ∴OD⊥DE；（5分） ∵ BD = AD ，OD过圆心， ∴OD⊥AB； 又∵AB⊥BC， ∴四边形FBED为矩形， ∴DE⊥BC；（6分） 又∵BD=DC， ∴BE=EC=DE， ∴△BCD为等腰直角三角形， ∴∠C=45°；（7分） ∴sinC= 2 2 ．（8分）