如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.

如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:如图①,连接AP.∵PE... 如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程如下:如图①,连接AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=12AB?PE,S△ACP=12AC?PF,S△ABC=12AB?CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴12AB?PE+12AC?PF=12AB?CH.∵AB=AC,∴PE+PF=CH.(1)如图②,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=______.点P到AB边的距离PE=______. 展开
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可云水r
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(1)如图②,PE=PF+CH.证明如下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=
1
2
AB?PE,S△ACP=
1
2
AC?PF,S△ABC=
1
2
AB?CH,
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC
1
2
AB?PE=
1
2
AC?PF+
1
2
AB?CH,
又∵AB=AC,
∴PE=PF+CH;

(2)∵在△ACH中,∠A=30°,
∴AC=2CH.
∵S△ABC=
1
2
AB?CH,AB=AC,
1
2
×2CH?CH=49,
∴CH=7.
分两种情况:
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PE+PF=CH,
∴PE=CH-PF=7-3=4;
②P为BC延长线上的点时,如图②.
∵PE=PF+CH,
∴PE=3+7=10.
故答案为7;4或10.
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