Question

如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD⊥AB于D，观察图形，判断PE、PF、CD

如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，CD⊥AB于D，观察图形，判断PE、PF、CD的大小关系；若P在BC延长线上，其他条件都不变，再判断PE、PF、CD的大小关系，并说明理由

Answer 1

PE、PF、CD的大小关系为：PE+PF=CD,
理由：
连结AP，用面积相等求，
因为S△ABC=S△ABP+S△ACP
即1/2*AB*CD=1/2*AB*PE+1/2*AC*PF
即AB*CD=AB*PE+AC*PF
又因为AB=AC
所以PE+PF=CD

若P在BC延长线上，其他条件都不变，PE、PF、CD的大小关系为PE-PF=CD
连结AP，仍然用面积相等求，
因为S△ABC=S△ABP-S△ACP
即1/2*AB*CD=1/2*AB*PE-1/2*AC*PF
即AB*CD=AB*PE-AC*PF
又因为AB=AC
所以PE-PF=CD

Answer 2

延长EP，过C点做FG⊥EG交EP延长于G
∵PE⊥AB CD⊥AB FG⊥EG
∴∠ABC=∠BCG=∠EGC=90°
∴四边形CDEG是矩形
∴CD =EG=PE+PG DE∥CG
∴∠ABC=∠ACB
又∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠BCG=∠ACB
在Rt△CFP与Rt△CPG中
∠BCG=∠ACB
CP=CP
∴Rt△CFP≌Rt△CPG
∴PF=PG
∴CD =PE+PF
(2)过C点做CG⊥PE
∵PE⊥AB CD⊥AB CG⊥PE
∴∠ABC=∠BCG=∠EGC=90°
∴四边形CDEG是矩形
∴CD =EG=PE-PG DE∥CG
∴∠ABC=∠PCG
又∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∴∠PCG=∠ACB
在Rt△CFP与Rt△CPG中
∠BCG=∠ACB
CP=CP
∴Rt△CFP≌Rt△CPG
∴PF=PG
∴CD =PE-PF