Question

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（I）求a

在数列{a n }中，a 1 =1，当n≥2时，其前n项S n 满足S n 2 =a n ( S n - 1 2 ) ．（I）求a n ；（II）设b n = S n 2n+1 ，求数列{b n }的前n项和T n ；（III）是否存在自然数m，使得对任意n∈N * ，都有T n ＞ 1 4 （m-8）成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵S n 2 =a n （S n - 1 2 ）（n≥2） ∴S n 2 =（S n -S n-1 ）（S n - 1 2 ） ∴2S n S n-1 =S n-1 -S n ∴2= 1 S n - 1 S n-1 …（2分） 又a 1 =1， 1 S 1 =1 ∴数列 { 1 S n } 为首项为1，公差为2的等差数列．…（3分） ∴ 1 S n =1+（n-1）?2=2n-1 ∴S n = 1 2n-1 ． ∴a n = 1，(n=1) - 2 (2n-1)(2n-3) ，(n≥2) …（5分） （II）b n = S n 2n+1 = 1 (2n+1)(2n-1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 ） ∴T n =b 1 +b 2 +…+b n = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )+…+( 1 2n-3 - 1 2n-1 )+( 1 2n-1 - 1 2n+1 ）] = 1 2 (1- 1 2n+1 )= n 2n+1 …（8分） （III）令T（x）= x 2x+1 ，则T（x）在[1，+∞）上是增函数 ∴当n=1时T n = n 2n+1 (n∈ N * ) 取得最小值． T 1 = 1 3 …（10分） 由题意可知，要使得对任意n∈N * ，都有T n ＞ 1 4 （m-8）成立， 只要T 1 ＞ 1 4 （m-8）即可． ∴ 1 3 ＞ 1 4 （m-8），解之得m＜ 28 3 又∵m∈n，∴m=9．…（12分）