Question

如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4。

如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4。 （1）求线段PF的长度；（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。

Answer 1

解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC 又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP， 从而∠PFD=∠OCP， 故△PFD∽△PCO， 由割线定理知PC·PD=PA·PB=12， 故 。
（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r， 因为OF=2-r=1，即r=1， 所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT 则PT 2 =PB·PO=2×4=8，即 。