Question

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC

四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及 的值；（2）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1， ，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．

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Answer 1

（1）EG⊥CG， ；（2）结论还成立，证明见解析；

试题分析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可. （2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案. （3）连接BD，求出 ，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可． 试题解析：（1）EG⊥CG， ，理由是： 如图1，过G作GH⊥EC于H， ∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC. ∵G为DF中点，∴H为EC中点. ∴EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），即GH=EH=BC. ∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形. ∴ （2）结论还成立，证明如下： 如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD， ∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，∴△EFG≌△HDG（SAS）. ∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH. ∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC. 在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，∴△EBC≌△HDC． ∴CE=CH，∠BCE=∠DCH. ∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°. ∴△ECH是等腰直角三角形， ∵G为EH的中点， ∴EG⊥GC， ，即（1）中的结论仍然成立. （3）如图3，连接BD， ∵AB= ，正方形ABCD，∴BD=2.∴ . ∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°. ∴ .∴DE= BE= . ∴DF=DE-EF= .