Question

已知正方形ABCD中，△BEF为等腰直角三角形，且BF为底，取DF的中点G，连接EG,CG，求证：EG=CG

Answer 1

如图，延长EG到M，使EG=GM，连接CM、CE． 

 易证△EFG≌△MDG，则EF=DM、∠EFG=∠MDG． 

∵∠DBE+∠DFE+∠BDF=90°，

 ∴∠DBE+∠GDM+∠BDF=90°．

 ∴∠MDC+∠DBE=45°． 

 ∵∠EBC+∠DBE=45°，   

  ∴∠EBC=∠MDC． 

进而易证△CBE≌△CDM，   

∴EC=CM、∠ECB=∠MCD． 易得∠ECM=90°，       

 ∴CG为直角△ECM斜边EM的中线． 

∴EG=GC． 

Answer 2

证明：延长EG，使GH=EG，连接DH, CH, CE
因为点G是DF的中点
所以DG=FG
因为角EGF=角DGH
所以三角形EGF和三角形HGD全等（SAS)
所以EF=DH
角EFG=角GDH
因为三角形BEF是等腰直角三角形
所以BE=EF
角EBF=角BFE=45度
所以BE=DH
因为角DBE+角EBF+角BFE+角EFG+角BDF=180度
所以角DBE+角GDC+角CDH=90度
因为四边形ABCD是正方形
所以角BCD=90度
BC=DC
角BDC=角DBC=45度
因为角BDC=角BDF+角GDC=45度
所以角DBE+角CDH=45度
角DBC=角DBE+角CBE=45度
所以角CBE=角CDH
所以三角形CBE和三角形CDH全等（SAS)
所以CE=CH
角BCE=角HCD
因为角BCD=角BCE+角DCE
所以角DCE+角HCD=角ECH=90度
所以三角形ECH是等腰直角三角形
因为EG=HG
所以CG是等腰直角三角形ECH的中线
所以EG=CG

Answer 3

证：过D点作EF的平行线与EG的延长线相交于H，连接CH，设EF与BC的交点为M，FD与BC交点为N，

因为DH∥EF，且G是FD的中点，很容易证明△EFG≌△HDG，所以DH=EF=BE①
又可得∠HDG=∠EFG,
∠HDG=∠GDC+∠HDC
=90-∠DNC+∠HDC
=90-∠MNF+∠HDC
=90-(180-∠FMN-∠MFN)+∠HDC
=90-(180-∠BME-∠MFN)+∠HDC
=90-[180-(180-∠MBE-∠BEN)-∠MFN]+∠HDC
=90-(∠MBE+90-∠MFN)+∠HDC
=∠MFN-∠MBE+∠HDC②
因为∠HDG=∠MFN,所以∠MBE=∠HDC③
因为ABCD是正方形，所以BC=CD④
由①③④可得△BEC≌△DHC，所以EC=HC，所以△CEH是等腰三角形，所以CG既是等腰△CEH的底边中线，又是其底边垂足，所以GC=1/2EH=EG，即得证。