如图,⊙O的直径AB为10,弦BC为6,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE
如图,⊙O的直径AB为10,弦BC为6,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE(1)求AC、AD的长;(2)试判断直线PC与圆...
如图,⊙O的直径AB为10,弦BC为6,D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE(1)求AC、AD的长;(2)试判断直线PC与圆⊙O的位置关系,并说明理由;(3)直接写出CD的长为7272.
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(1)连结BD,如图,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,∵AB=10,BC=6,
∴AC=
=8;
∵DC平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴AD=
AB=5
;
(2)PC与圆⊙O相切.理由如下:
连结OC,
∵PC=PE,
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°,
而∠A=90°-∠ABC,∠ABC=∠OCB,
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-(∠OCE+45°)+45°,
∴∠OCE+∠PCE=90°,
即∠PCO=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC为⊙O的切线;
(3)点I为Rt△ABC的内心,连结BI,作IF⊥BC于F,如图,
∵点I为Rt△ABC的内心,
∴BI平分∠ABC,
∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC,∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI,
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=BI,
∴BI=DA=5
,
∵IF=
=2,
∴CI=2
,
∴CD=CI+DI=7
.
故答案为7
.
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,∵AB=10,BC=6,
∴AC=
AB2?BC2 |
∵DC平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴AD=
| ||
2 |
2 |
(2)PC与圆⊙O相切.理由如下:
连结OC,
∵PC=PE,
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠A+∠ACE=∠A+45°,
而∠A=90°-∠ABC,∠ABC=∠OCB,
∴∠PCE=90°-∠OCB+45°=90°-(∠OCE+45°)+45°,
∴∠OCE+∠PCE=90°,
即∠PCO=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC为⊙O的切线;
(3)点I为Rt△ABC的内心,连结BI,作IF⊥BC于F,如图,
∵点I为Rt△ABC的内心,
∴BI平分∠ABC,
∵∠DIB=∠ICB+∠IBC=45°+∠IBC,∠DBI=∠DBA+∠EBI=45°+∠EBI,
∴∠DIB=∠DBI,
∴BD=BI,
∴BI=DA=5
2 |
∵IF=
6+8?10 |
2 |
∴CI=2
2 |
∴CD=CI+DI=7
2 |
故答案为7
2 |
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