Question

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，2103）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，2103）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（1，0），点H（2，

2 10

3

）在椭圆上，
∴由题意，得

a2?b2＝1 4 a2 + 40 9b2 ＝1

，…（2分）
解得a=3，b=2

2

…（4分）
∴椭圆方程为

x2

9

+

y2

8

＝1．…（5分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x12

9

+

y12

8

＝1（|x₁|≤3）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=

1

9

（x₁-9）²，
∴|PF₂|=3-

1

3

x₁，------------------------（8分）
连接OM，OP，由相切条件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-8=

1

9

x₁²，
∴|PM|=

1

3

x₁，
∴|PF₂|+|PM|=3----------------------------------（11分）
同理可求|QF₂|+|QM|=3
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=6为定值．…（12分）