Question

一个线性代数问题

A为n*m矩阵，则A乘以A的转置的行列式是否一定大于等于零

Answer 1

【分析】
AAT为实对称矩阵，因为（AAT）T = AAT
如果 AAT为正定矩阵，那么 |AAT| ＞ 0

【解答】
AAT为 n×n阶矩阵
1、若r（A）=r ＜min（n，m）
r（AAT）≤r（A）＜min（n，m）≤n， 所以|AAT| = 0

2、若n＞m，r（A）=m，r(AAT)≤r（A）=m＜n ，所以|AAT| = 0

3、若n＜m，r（A）=n，对于齐次线性方程组ATx=0 ，r（AT）=n，只有零解。
任意的x≠0，ATx ≠ 0，则 xT(AAT)x =（ATx)T ATx ＞ 0
所以AAT正定，所以|AAT|＞0

综上所述，|AAT|≥0

【评注】
设A为n×m矩阵，且r（A）=m＜n，则ATA为正定矩阵。（注意和本题区分）
正定矩阵的特征值都大于零，其行列式大于零。

当A为实对称矩阵时，行列式|A|＞0，就考虑到从正定矩阵角度来解答。

newmanhero 2015年2月10日20:54:33

希望对你有所帮助，望采纳。

Answer 2

你的理论是错的 若AB=0，并不能得出 其中一个是零矩阵，这一点是错误的。
对于D，有ABAB=E，所以B的逆是ABA，互为逆矩阵，对阵可交换，即
BABA=E也就是BA²=E

Answer 3

A^T*B=
-1 2
-1 3
|A^T*B|=-1
A*=
3 -2
1 -1
(A^T*B)^(-1)=
-3 2
-1 1
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。