在△ABC中,已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=2∠A.(1)若△ABC为锐角三角形,求ca的取值
在△ABC中,已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=2∠A.(1)若△ABC为锐角三角形,求ca的取值范围;(2)若cosA=34,a+c=20,求b的值....
在△ABC中,已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且∠C=2∠A.(1)若△ABC为锐角三角形,求ca的取值范围;(2)若cosA=34,a+c=20,求b的值.
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(1)根据正弦定理有
=
=
=2cosA,(2分)
在△ABC为锐角三角形中,可得三个角都为锐角,
由C=2A,得到C>A,
可得C>60°,即2A>60°,解得:A>30°,
同时C<90°,即2A<90°,解得:A<45°,(4分)
∴30°<A<45°,
∴cosA∈(
,
),即2cosA∈(
,
),
则
∈(
,
);(6分)
(2)由(1)
=2cosA,又cosA=
,
得
=
,与a+c=20联立得:
?
,(8分)
再由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA,
即64=b2+144-18b,
解得b=8或b=10,(10分)
若a=8,可得a=b,三角形为等腰三角形,
又∠C=2∠A,
可得∠C为直角,
即三角形为等腰直角三角形,即∠A=45°,
可得cosA=
≠
,故b=8要舍去.
则b=10.
c |
a |
sinC |
sinA |
sin2A |
sinA |
在△ABC为锐角三角形中,可得三个角都为锐角,
由C=2A,得到C>A,
可得C>60°,即2A>60°,解得:A>30°,
同时C<90°,即2A<90°,解得:A<45°,(4分)
∴30°<A<45°,
∴cosA∈(
| ||
2 |
| ||
2 |
2 |
3 |
则
c |
a |
2 |
3 |
(2)由(1)
c |
a |
3 |
4 |
得
c |
a |
3 |
2 |
|
|
再由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA,
即64=b2+144-18b,
解得b=8或b=10,(10分)
若a=8,可得a=b,三角形为等腰三角形,
又∠C=2∠A,
可得∠C为直角,
即三角形为等腰直角三角形,即∠A=45°,
可得cosA=
| ||
2 |
3 |
4 |
则b=10.
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