Question

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．（1）若△ABC为锐角三角形，求ca的取值

在△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠C=2∠A．（1）若△ABC为锐角三角形，求ca的取值范围；（2）若cosA＝34，a+c=20，求b的值．

Answer 1

（1）根据正弦定理有

c

a

＝

sinC

sinA

＝

sin2A

sinA

＝2cosA，（2分）
在△ABC为锐角三角形中，可得三个角都为锐角，
由C=2A，得到C＞A，
可得C＞60°，即2A＞60°，解得：A＞30°，
同时C＜90°，即2A＜90°，解得：A＜45°，（4分）
∴30°＜A＜45°，
∴cosA∈（

2

2

，

3

2

），即2cosA∈（

2

，

3

），
则

c

a

∈(

2

，

3

)；（6分）
（2）由（1）

c

a

＝2cosA，又cosA＝

3

4

，
得

c

a

＝

3

2

，与a+c=20联立得：

c a ＝ 3 2 a+c＝20

?

a＝8 c＝12

，（8分）
再由余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA，
即64=b²+144-18b，
解得b=8或b=10，（10分）
若a=8，可得a=b，三角形为等腰三角形，
又∠C=2∠A，
可得∠C为直角，
即三角形为等腰直角三角形，即∠A=45°，
可得cosA=

2

2

≠

3

4

，故b=8要舍去．
则b=10．