Question

曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个

曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2．其中，所有正确结论的序号是______．

Answer 1

对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：

(x+1)2+y2

?

(x-1)2+y2

=a2?[（x+1）²+y²]?[（x-1）²+y²]=a⁴（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2=

1

2

×2×y，
由（1）式平方化简的：y⁴+[（x+1）²+（x-1）²]y²+（x²-1）²-a⁴=0?y2=-x2-1+

4x2+a4

或y2=-x2-1-

4x2+a4

（舍）  
把三角形的面积式子平方得：S△PF1F22 =y2 对于y2=-x2-1+

4x2+a4

（2）
 令

4x2+a4

=t(t≥a2＞1)?x2=

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