Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥ 平面PCE；（Ⅱ）若P

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥ 平面PCE；（Ⅱ）若PA=AD且AD=2，CD=3，求P-CE-A的正切值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取PC中点M，连ME，MF ∵FM ∥ CD，FM= 1 2 CD ，AE ∥ CD，AE= 1 2 CD ∴AE ∥ FM，且AE=FM，即四边形AFME是平行四边形 ∴AF ∥ EM， ∵AF?平面PCE ∴AF ∥ 平面PCE…（6分） （Ⅱ）延长DA，CE交于N，连接PN，过A作AH⊥CN于H连PH． ∵PA⊥平面ABCD，∴PH⊥CN（三垂线定理） ∴∠PHA为二面角P-EC-A的平面角…（8分） ∵AD=2，CD=3 ∴CN=5，即EN= 5 2 ，P A=AD ∴PA=2，∴AH= AN?AE EN = 2? 3 2 5 2 = 6 5 ∴ tan∠PHA= PH AH = 2 6 5 = 5 3 ∴二面角P-EC-A的正切值为 5 3 ．…（12分）