已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（I）求数列{an}的通
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足an(2...
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足an(2bn?1)＝1，记Tn为数列{bn}的前n项和．求证：2Tn+1＜log2（an+3）
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（I）解：n=1时，6a1=a12+3a1+2，且a1＞1，解得a1=2．
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn?1)＝1，
∴bn＝log2
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(
×
×…×
)
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
×
×…×
)+1＜log2（an+3）
即证(
×
×…×
)2＜
即证
＜1
令cn＝
，
∴
＝
＜1
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1＝
＝
＜1
∴cn＝
n≥2时，6Sn=an2+3an+2，6Sn-1=an-12+3an-1+2，两式相减得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
∵an+an-1＞0，
∴an-an-1=3，
∴{an}为等差数列，
∵a1=2，
∴an=3n-1．
（II）证明：∵数列{bn}满足an(2bn?1)＝1，
∴bn＝log2
| 3n |
| 3n?1 |
∴Tn=b1+b2+…+bn=log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n?1 |
要证2Tn+1＜log2（an+3），即证2log2(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n?1 |
即证(
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
| 3n |
| 3n?1 |
| 3n+2 |
| 2 |
即证
2(
| ||||||
| 3n+2 |
令cn＝
2(
| ||||||
| 3n+2 |
∴
| cn+1 |
| cn |
| 9n2+18n+9 |
| 9n2+21n+10 |
∵cn＞0，∴cn+1＜cn，
∴{cn}是单调递减数列
∴cn≤c1＝
2×(
| ||
| 3×1+2 |
| 9 |
| 10 |
∴cn＝
2(
|
