如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D是棱CC1的中点，A1D⊥AB1；（Ⅰ）求AA1的
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D是棱CC1的中点，A1D⊥AB1；（Ⅰ）求AA1的长；（Ⅱ）求二面角A1-AB1=C1...
如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D是棱CC1的中点，A1D⊥AB1；（Ⅰ）求AA1的长；（Ⅱ）求二面角A1-AB1=C1的余弦值．
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（Ⅰ）以C为原点建立如图所示的坐标系，设AA1=a，则A1=（0，A，
），D（0，
，0），
A（0，0，
），B1=（1，a，0），
=（1，a．-
），
=（0，-
，?
），
∵，A1D⊥AB1
∴A1D?AB1=0，
即?
+3=0，解得：a=
，
∴AA1的长为
．
（Ⅱ）设平面AA1B1的法向量为
=（x，y，z），
A1D?AB1=0，
∴
令z=1，y=0，x=
，
∴
=（
，0，1）
∵AD1⊥AB1，AD1⊥B1C1，
∴A1D⊥平面AB1C1，
平面AB1C1的法向量为
=（0，?
，?
），
cos＜
| 3 |
| a |
| 2 |
A（0，0，
| 3 |
| AB1 |
| 3 |
| A1D |
| a |
| 2 |
| 3 |
∵，A1D⊥AB1
∴A1D?AB1=0，
即?
| a2 |
| 2 |
| 6 |
∴AA1的长为
| 6 |
（Ⅱ）设平面AA1B1的法向量为
| n |
A1D?AB1=0，
∴
|
令z=1，y=0，x=
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
∵AD1⊥AB1，AD1⊥B1C1，
∴A1D⊥平面AB1C1，
平面AB1C1的法向量为
| A1D |
| ||
| 2 |
| 3 |
cos＜
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