Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C． （1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1） （2） （3）MC与⊙P的位置关系是相切

解：（1）∵A（4，0），B（－1，0）， ∴AB=5，半径是PC=PB=PA= 。∴OP= 。 在△CPO中，由勾股定理得： 。∴C（0，2）。 设经过A、B、C三点抛物线解析式是 ， 把C（0，2）代入得： ，∴ 。 ∴ 。 ∴经过A、B、C三点抛物线解析式是 ， （2）∵ ，∴M 。 设直线MC对应函数表达式是y=kx+b， 把C（0，2），M 代入得： ，解得 。 ∴直线MC对应函数表达式是 。 （3）MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下： 设直线MC交x轴于D， 当y=0时， ，∴ ，OD= 。∴D（ ，0）。 在△COD中，由勾股定理得： ， 又 ， ， ∴CD 2 +PC 2 =PD 2 。 ∴∠PCD=90 0 ，即PC⊥DC。 ∵PC为半径， ∴MC与⊙P的位置关系是相切。 （1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是 ，把C（0，2）代入求出a即可。 （2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M 代入得到方程组，求出方程组的解即可。 （3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出∠PCD=90 0 ，即可作出判断。