Question

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求证：AF﹣BF=EF；

如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形边长为3，求点F′与旋转前的图中点E之间的距离．

Answer 1

（1）证明见解析（2）3

（1）证明：如图，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=∠BAG+∠EAD=90°。 ∵DE⊥AG，∴∠AED=90°。∴∠EAD+∠ADE=90°。∴∠ADE=∠BAF。 又∵BF∥DE，∴∠AEB=∠AED=90°。 在△AED和△BFA中，∵∠AEB=∠AED，∠ADE=∠BAF，AD = AB。 ∴△AED≌△BDA（AAS）。∴BF=AE。 ∵AF﹣AE=EF，∴AF﹣BF=EF。 （2）解：如图， 根据题意知：∠FAF′=90°，DE=AF′=AF， ∴∠F′AE=∠AED=90°，即∠F′AE+∠AED=180°。 ∴AF′∥ED。∴四边形AEDF′为平行四边形。 又∵∠AED=90°，∴四边形AEDF′是矩形。 ∴EF′=AD=3。 ∴点F′与旋转前的图中点E之间的距离为3。 （1）由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出三角形ABF与三角形ADE全等，利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF﹣AE=EF，等量代换可得证。 （2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，连接EF′，如图所示，由旋转的性质可得出∠FAF′为直角，AF=AF′，由（1）的全等可得出AF=DE，等量代换可得出DE=AF′=AF，再利用同旁内角互补两直线平行得到AF′与DE平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得出AEDF′为平行四边形，再由一个角为直角的平行四边形为矩形可得出AEDF′为矩形，根据矩形的对角线相等可得出EF′=AD，由AD的长即可求出EF′的长。