Question

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

Answer 1

类似的性质为若MN是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），
其中

m2

a2

-

n2

b2

=1、又设点P的坐标为（x，y），
由k_PM=

y?n

x?m

，k_PN=

y+n

x+m

，
得k_PM?k_PN=

y?n

x?m

?

y+n

x+m

=

y2?n2

x2?m2

，
将y²=

b2

a2

x²-b²，n²=

b2

a2

m²-b²，代入得k_PM?k_PN=

b2

a2

．