Question

如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）A．

如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）A．cosAB．sinAC．sin2AD．cos2A

Answer 1

解：如图，连接BE．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=

AE

AB

，
∵点D、B、C、E四点共圆，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

．
∵S_△ADE=

1

2

AE?AD?sinA，S_△ABC=

1

2

AB?AC?sinA，
∴S_△ADE：S_△ABC=

AE?AD

AB?AC

=

AE2

AB2

=cos²A．
故选：D．