Question

双曲线上一点到两焦点的距离公式是什么？

Answer 1

如题，该距离公式借助双曲线的第二定义得出。因此，以下先说明双曲线的第二定义，再给出所涉距离公式。

1.双曲线的第二定义：

①文字语言：若平面内点P与一定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e(e>1)，则点P的轨迹是双曲线。其中，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。

②集合语言：

③两点说明：

1）双曲线有两条准线：对于双曲线x²/a²－y²/b²=1相应于焦点F2（c,0）的准线方程是x=a²/c，根据双曲线的对称性，相应于焦点F1（－c,0）的准线方程是x=-a²/c；

2）据定义知，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

2.借助第二定义表示双曲线上一点到两焦点的距离：

以点P在双曲线右支为例，类似地，可得出点P在左支的情形。

如图，不妨假设P(x。,y。)是双曲线x²/a²－y²/b²=1右支上任意一点，点F1（－c,0）、F2（c,0）分别是双曲线的左、右焦点：

①由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为D，则

②由点P(x。，y。)向右准线引垂线，垂足为E，则

3.一点补充：

当点P在双曲线左支时，有：|PF1|=－(ex。+a)，|PF2|=－(ex。－a)

Answer 2

双曲线上一点到两焦点的距离公式：设点为M点，M点在左支上 ：MF1=ex+a（x为M点横坐标）；MF2=ex-a。 M点在右支上：MF1=-(ex+a）；MF2=-(ex-a). e为离心率。
一般的，双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[2] ）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。

双曲线焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。

双曲线准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
顶点
双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。

双曲线实轴
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。

双曲线虚轴
在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.

双曲线渐近线
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

Answer 3

一、双曲线的相关概念
焦点：双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
离心率：给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a
顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴：两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴：在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
焦点在x轴的渐近线：y=±b/a x
焦点在y轴的渐近线：y=±a/b x
二、双曲线的标准方程：

①焦点在x轴上：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
②焦点在y轴上：y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)
根据双曲线的定义，双曲线上的一个点到两焦点的距离之差的绝对值是定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
三、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
四、设点为M点，e为离心率。M点在左支上 ：MF1=ex+a（x为M点横坐标）；MF2=ex-a。 M点在右支上：MF1=-(ex+a）；MF2=-(ex-a).
综上所述，便可得出双曲线的上的点到两焦点的距离

Answer 4

根据双曲线的定义，双曲线上的一个点到两焦点的距离之差的绝对值是定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

双曲线的标准方程：
①焦点在x轴上：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
②焦点在y轴上：y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)

双曲线的相关概念
焦点：双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
离心率：给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a
顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴：两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴：在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
焦点在x轴的渐近线：y=±b/a x
焦点在y轴的渐近线：y=±a/b x

双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。

Answer 5

根据双曲线的定义，双曲线上的一个点到两焦点的距离之差的绝对值是定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

双曲线的标准方程：
①焦点在x轴上：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
②焦点在y轴上：y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)

双曲线的相关概念
焦点：双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
离心率：给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a
顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴：两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴：在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
焦点在x轴的渐近线：y=±b/a x
焦点在y轴的渐近线：y=±a/b x

双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。