Question

计算曲线积分∫ydx+zdy+xdz,其中为x^2+y^2+z^2=a与x+y+z=0的交线。从x

计算曲线积分∫ydx+zdy+xdz,其中为x^2+y^2+z^2=a与x+y+z=0的交线。从x轴的正向往负向看去逆时针方向，最好有图

Answer 1

答：- √3πa²

 

Γ为x²+y²+z²=a²与x+y+z=0的交线

从x正轴往x负轴看过去是逆时针的方向，即正向，取 +

∮_(Γ) y dx + z dy + x dz

= ∫∫_(Σ) rotA * n dS，<-- Stokes公式

= ∫∫_(Σ) - dydz - dzdx - dxdy

= - ∫∫_(Σ) dydz + dzdx + dxdy

取Σ为平面z = - x - y，z'x = z'y = - 1，取上侧

则在xOy面的投影为椭圆区域：x²+y²+(x+y)²=a²

这个椭圆面积很难算，是a²π/√3

= - ∫∫_(D) [ (1)(- z'x) + (1)(- z'y) + 1 ] dxdy

= - ∫∫_(D) [ (1)(1) + (1)(1) + 1 ] dxdy

= - 3∫∫_(D) dxdy

= - 3 * 椭圆D的面积

= - 3 * a²π/√3

= - √3πa²

 

图像是这样的：可见在yOz面的投影是个椭圆曲线

追答

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3