Question

【急】高中数学解几题，满意加分。第二问的第二问即可

Answer 1

离心率e=c/a=√2/2
左准线方程x=-a²/c=-a/e=-√2a
右焦点到左准线的距离=c+a²/c=6√2
c+√2a=6√2
a=c√2，代入上式
c+2c=6√2
c=2√2
a=4
b=√（a²-c²）=√（16-8）=√8=2√2
椭圆方程：
x²/16+y²/8=1

S△APQ=S△AOP+S△AOQ=（1/2）a（yP-yQ）=2（yP-yQ）
设AP的斜率为k

M（0，ka）=M（0,4k）
kMF=-4k/c=-4k/2√2=-k√2
kFN=-1/kMF=1/（k√2）
N=-ckFN=-2√2/（k√2）=-2/k
AN方程
x/（-a）+y（-2/k）=1
x/4+ky/2=-1
x=4（-1-ky/2）=-4-2ky
Q坐标：
（4+2ky）²/16+y²/8=1
（2+ky）²/4+y²/8=1
2（4+4ky+k²y²）+y²=8
8+8y+（2k²+1）y²=8
（2k²+1）y²+8y=0
yQ=-8/（2k²+1）

PA方程：y=k（x+a）=k（x+4）

x+4=y/k，x=y/k-4
（y/k-4）²/16+y²/8=1
y²/k²-8y/k+16+2y²=16
（2+1/k²）y²-8y/k=0
（2+1/k²）yP=8/k
yP=（8/k）/（2+1/k²）
=8k/（2k²+1）

S△APQ=2（yP-yQ）=2（8k+8）/（2k²+1）
=16（k+1）/（2k²+1）

追答

yQ求错了
8十8ky十（2k²十1）y²=8
8ky十（2k²十1）y²=0
yQ=-8k/ （2k²十1）

SΔAPQ=4yP
=32k/（2k²十1）
求导
S'=32[ 2k²十1-k×4k ]/ （2k²十1）²
=32（1-2k²）/ （2k²十1）²
k=±1/√2时，
S'=0
S有最大值
Smax=32/√2/3
=16√2/3

本题还有简单解法，如果将M，N；P，Q
互换，意义一样。因此，
当AMP与ANQ对称时，ΔAPQ有最大值
此时，MF与NF对称
他们与x轴夹45°角
M（0,c）=（0,b）=（0,2√2）
此时，MP.NQ重合
k=±c/a= ±2√2/4= ±√2/2
面积=ab=8√2

上面
Smax写错了
Smax=32/√2/2
=16/√2
=8√2