如何确定一个周期函数的周期
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。
事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。
1、做变量替换令y=x+1 ,得到 f(y)= -f(y+2)
2、再一次套用这个式子,得到f(y+2)=-f(y+4)
3、两个式子结合,得到f(y)=f(y+4),所以,周期是4关键的地方是:凑出f(x)=f(x+T),这时候T就是周期。而上面3个步骤就是往这个方向凑。
对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时,函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。(说明:如果以后无特殊说明,周期指的就是最小正周期。)
在函数图象上,最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
扩展资料:
周期函数的性质共分以下几个类型:
(1)若T(≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期。
(2)若T(≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。
(3)若T1与T2都是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期。
(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
(5)若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。
(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。
当定义中的f(x)=sinx或cosx时,思考T的取值。
T=2kπ(k∈Z且k≠0)
所以正弦函数和余弦函数均为周期函数,且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)
展示正、余弦函数的图象。
周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。(用课件加以说明。)
强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”
令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2
所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0
所以T=0或T=-2x
强调定义中的“非零”和“常数”。
参考资料来源:百度百科——周期函数
求周期,可以把一个函数式子化成f(x)=f(x+a)的这样形式,那么它的周期就是a (当然a>0)。
例如:下面为一系列的2a为周期的函数
f(x+a)=-f(x) 所以有f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x) 就化解到 f(x)=f(x+2a)的形式了,关键是运用整体思想,去代换。
函数的周期性定义:若存在常数T,对于定义域内的任一x,使f(x)=f(x+T) 恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
扩展资料:
周期函数的性质:
(1)若T(≠0)是f(x)的周期,则-T也是f(x)的周期。
(2)若T(≠0)是f(x)的周期,则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期。
(3)若T1与T2都是f(x)的周期,则T1±T2也是f(x)的周期。
(4)若f(x)有最小正周期T*,那么f(x)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。
(5)若T1、T2是f(x)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(x)不存在最小正周期。
(6)周期函数f(x)的定义域M必定是至少一方无界的集合。
函数的周期性定义是什么
T=2π/ω,Asin(ωx+φ),Acos(ωx+φ);
T=π/ω,Atan(ωx+φ),Acot(ωx+φ)。
2、一般的,定义法:
f(x+c)=f(x),C≠0是周期,其最小正数是最小正周期T。
3、对称的,具有对称性函数的周期:
(1)如果函数f(x)在R上的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),那么,f(x)是周期函数,且2(a-b)是它的一个周期.
(2)如果函数f(x)在R上的图象有两个对称中心(a,0)和 (b,0) (a≠b),那么f(x)是周期函数,且2(a-b)是它的一个周期.
(3)如果函数f(x)在R上的图象有一个对称轴x=a和一个对称中心(b,c)(a≠b).
那么f(x)是周期函数,且4(a-b)是它的一个周期.
4.抽象的,充分条件法。
设m是非零常数,若对于函数f(x)定义域R中的任意x,恒有下列条件之一成立,则f(x)是周期函数,2m是它的一个周期.
①f(x +m)=-f(x),②f(x+m)=1/f(x),④f(x+m)=f(x-m),③f(x+m)= -1/f(x).
5.函数运算。
函数f(x)与g(x)都是周期为T的周期函数,则它们的和,差、积、商(分母不为0)也是周期函数,这时T是一个周期。
广告 您可能关注的内容 |