Question

设 A、B为n阶对称阵且B可逆 则下列矩阵中为对称阵的是

设 A、B为n阶对称阵且B可逆 则下列矩阵中为对称阵的是（a)AB^-1 -B^-1A (b)AB^-1 +B^-1A (c)B^-1AB (d)(AB)^2

Answer 1

A选项：（AB-1-B-1A）'=（AB-1）'-（B-1A）'=B-1'A-A'B-1'=B-1A-AB-1≠AB-1-B-1A，所以A选项错误。

B选项：（AB-1+B-1A）'=（AB-1）'+（B-1A）'=B-1'A+A'B-1'=B-1A+AB-1=AB-1+B-1A，所以B选项正确。

C选项：（B-1AB）'=B'A'B-1'=BAB-1≠B-1AB，所以C选项错误。

D选项：（（AB）2）'=（ABAB）'=B'A'B'A'=BABA=（BA）2≠（AB）2 ，所以D选项错误。

故答案选：B

扩展资料：

对称矩阵的性质：

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

6.任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和。

5.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

7.每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

8.若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

9.一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

10.如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

Answer 2

答案是(b)，推理的过程如下图所示，其他三项都无法保证其为对称阵。