Question

设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：AB为反对称矩阵当且仅当AB=BA.

Answer 1

【答案】：证 由已知条件，有A^T=A，B^T=-B.
必要性 设AB为反对称矩阵，则有
(AB)^T=-AB
即 B^TA^T=-AB
由题设条件，有 -BA=-AB
故 BA=AB
充分性 设AB=BA，则
(AB)^T=B^TA^T=-BA=-AB
故AB为反对称矩阵.对称矩阵和反对称矩阵是两种重要的特殊方阵，应该熟悉它们的定义和性质.