Question

求方程组的全部实数解

Answer 1

1-x^2=y……①
1-y^2=z……②
1-z^2=x……③
由①得：y=1-x^2<=1，同理，x<=1，z<=1
y^2<=1，代入②，得：z=1-y^2>=0，同理，x>=0，y>=0
即0<=x,y,z<=1
①-②，得：y^2-x^2=y-z，(y+x)(y-x)=y-z……④
②-③，得：z^2-y^2=z-x，(z+y)(z-y)=z-x……⑤
③-①，得：x^2-z^2=x-y，(x+z)(x-z)=x-y……⑥
④*⑤*⑥，得：(y+x)(z+y)(x+z)(y-x)(z-y)(x-z)=(y-z)(z-x)(x-y)
(y-z)(z-x)(x-y)[(y+x)(z+y)(x+z)+1]=0
（1）当y=z时
则1-y^2=y，y=(√5-1)/2或-(√5+1)/2（舍去）
z=y=(√5-1)/2，x=1-z^2=(√5-1)/2
即x=y=z=(√5-1)/2
同理，当z=x或x=y时，x=y=z=(√5-1)/2
（2）当x≠y且y≠z且z≠x时
(y+x)(z+y)(x+z)=-1
因为0<=x,y,z<=1，所以(y+x)(z+y)(x+z)>=0，矛盾
综上所述，x=y=z=(√5-1)/2

追问

有错！③－①不对，
所以应为（y－x）（z－y）（z－x）[ （y＋x）（z＋y）（z＋x）－1 ]＝0

还有x，y，z分别有两个解。即x＝y＝z＝（－1＋√5）/2或（－1－√5）/2

追答

③－①我是对的，你再看看

追问

真是的，是我看错了，抱歉！

追答

没关系