Question

这道摆线的二重积分怎么算

只有一个问题。就是二重积分打开以后那个上限y是怎么设的

Answer 1

首先，二重积分化为累次积分后，被积表达式ydy应写成tdt以示与积分上限的区别。
其实，当把原积分化为先对y、后对x的积分时，在把x的积分限确定之后，为了确定y的积分限，通常的做法是在横轴坐标为x的变化区间内随便一点x处，作垂直于x轴的直线，从下向上看该直线时，直线进入原积分区域的点对应的纵坐标即为y的下限，而直线穿出原积分区域的点对应的纵坐标即为y的上限。
在题主的问题中，在[0,2πa]内随便一点x处作垂直于横轴的直线，该直线显然在x轴上进入原积分区域，所以y的下限是0；又该直线在与摆线的交点处穿出原积分区域，而当横坐标为x时，纵坐标就是y，所以对应的积分上限是y.

追问

横坐标为x纵坐标就为y是为什么

追答

一般地，在横坐标是x的地方作的垂直于x轴的直线与摆线的交点的纵坐标应该是y＝f(x)，简写为y。当然，这里函数y＝f(x)是由摆线的参数方程给定的，所以在横坐标为x处，对应的纵坐标y应该用第二个参数方程去算

追问

明白了，感谢。已采纳