Question

数学分析证明题？

f（x）在【a，b】上连续，0＜a＜b，则存在ξ,η属于（a，b），使2ηf’（ξ)=（a+b）f’（η)

Answer 1

1、因为f'+(a)>0，则根据极限的保号性，存在c>0
使得当x∈(a,a+c)时，有f(x)>f(a)=K
同理，因为f'-(b)>0，存在d>0，使得当x∈(b-d,b)时，有f(x)<f(b)=K
不妨令x1∈(a,a+c)，x2∈(b-d,b)
则f(x1)>K>f(x2)
因为f(x)在[a,b]上连续，则根据介值定理，存在ξ∈(x1,x2)⊆(a,b)
使得f(ξ)=K