Question

在平行四边形abcd中，向量AC与BD交于点OE是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若向

在平行四边形abcd中，向量AC与BD交于点OE是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若向量AC=a,BD=b，则AF=

Answer 1

郭敦顒回答：
这题尚缺少AB或AD或其它方面的具体条件，不能给出AF的具体值，但再设定一个相关数据后，可得出关于AF的关系式——
设∠AOD=θ，θ是向量OC与向量OD间的夹角，亦即向量AC与向量BD间的夹角，
点E是平行四边形ABCD对角线BD的四等分点，靠近D，AE的延长线交CD于F，
∴DE=（3/4）BD，DE：BE=1：3，
∵在△EFD与△EAB中，∠FED=∠AEB（对顶角），
∠ABD=∠BDF（平行则内错角相等），∠ABD=∠ABE，∠BDF=∠EDF（同角），
∴∠ABE=∠EDF，
∴△EFD∽△EAB，∴FE/AE=DF/AB=DE/BE=1/3，
∴DF=AB/3，
在△OCD中，OC=| a|/2，OD= |b|/2，∠AOD=θ，
按余弦定理：cosθ=（|a|²/4+|b|²/4－CD²）/（|a||b|/2），
（ab/2）cosθ=|a|²/4+|b|²/4－CD²，
CD²= |a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ，
AB=CD=√[| a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ]；
同理求得BC²=|a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cos（180°－θ），
AD=BC=√[ |a|²/4+|b|²/4－（|a|b|/2）cos（180°－θ）]。
在△ACD中，cos∠ADC =（AD²+CD²－a²）/（2 AD•CD）
∴∠ADC= arc cos[（AD²+CD²－|a|²）/（2 AD•CD）]。
∵DF=AB/3，∴DF={√[ |a|²/4+|b|²/4－（|a||b|/2）cosθ]}/3，
在△AFD中，∠ADF =∠ADC（同角），
cos∠ADF =（AD²+DF²－AF²）/（2 AD•DF），
（2 AD•DF）cos∠ADF =AD²+DF²－AF²，
AF²=AD²+DF²－（2 AD•DF）cos∠ADF，
∴AF=√{AD²+DF²－（2 AD•DF）cos∠ADF}。

Answer 2

如图，AB＝（a-b）/2. AD＝（a+b）/2.

AF＝tAE＝t（AB+BE）＝ta/2-tb/2+3tb/4＝ta/2+tb/4.

AF＝AD+DF＝AD+sAB＝（1+s）a/2+（1-s）b/2

t＝1+s,t/2＝1-s,消去t,得到 s＝1/3.AF＝（2/3）a+（1/3）b