Question

设V是复数域上n维线性空间,线性变换σ在基ε1，ε2，…，εn下的矩阵是一个若尔当块

Answer 1

1.设W是包含εn的σ的不变子空间，而σ{ε1，ε2，…，εn}=&{ε1，ε2，…，εn}，由不变子空间定义知，εn
1
&εn∈W，所以εn
1∈W，同理知εn，…，ε2，ε1∈W，所以W=L{ε1，ε2，…，εn}=V
2.V中任何非零的σ不变子空间至少包含ε1，ε2，…，εn中一个，假设包含εi，由1知，该空间包含所有的εj，j≤i，显然，{1}∈{j}，所以V中任何非零的σ不变子空间都包含ε1
3.设V中有两个非平凡的不变子空间W1与W2，由2知，ε1∈W1且ε1∈W2，W1∩W2≠∅，所以V不能分解成两个非平凡的σ的不变子空间的直和。