Question

A的特征值与A*的特征值之间有什么关系？

Answer 1

当A可逆时,
若
λ是A的特征值,
α
是A的属于特征值λ的特征向量；
则
|A|
/
λ
是
A*的特征值,
α
仍是A*的属于特征值
|A|
/
λ
的特征向量。
特征值基本定义
设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。
广义特征值
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ
可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。
若B可逆，则原关系式可以写作
Aν=λν
，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。
如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为
A矩阵未必是对称的。

Answer 2

当A可逆时,
若
λ是A的特征值,
α
是A的属于特征值λ的特征向量,
则
|A|
/
λ
是
A*的特征值,
α
仍是A*的属于特征值
|A|
/
λ
的特征向量