Question

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²，a，b是常数。

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）2，a，b是常数．
（1）若a≠b，求证：函数f（x）存在极大值和极小值；
（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2，令点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））．如果直线AB的斜率为-1/2，求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；
（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立，求实数m，a，b满足的条件

只求第3问解答过程中的一步：
第三问我化到这里，（x-b）{（1-3m）x2+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0．讨论m的取值m≠1/3时，怎么做？

Answer 1

f′（x）=（x-b)²+2(x-a)(x-b)=(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
f(x)≥mxf′(x)
→(x-a)(x-b)²≥mx(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
→(x-b)﹛(x-a)(x-b)-mx[(x-b)+2(x-a)]﹜≥0
→(x-b)[x²-(a+b)x+ab-mx²+mbx-2mx²+2amx]≥0
→(x-b)[(1-3m)x²+(2am+bm-a-b)x+ab]≥0
→(1-3m)x³+(2am+bm-a-b)x²+abx-(1-3m)bx²-(2am+bm-a-b)bx-ab²≥0
→(1-3m)x³+[2am-a-2b+4bm]x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²≥0
令g(x)=(1-3m)x³+(2am-a-2b+4bm)x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²
m≠1/3时
g′(x)=(3-9m)x²+(4am-2a-4b+8bm)x+(2ab-2abm-b²m+b²)
欲使g(x)≥0恒成立
→g(x)min≥0
→观察g′(x):
如果g′(x)恒≥0，即g(x)单调递增，此时g(x)值域肯定为R
g′(x)恒≤0， 即g(x)单调递减，此时g(x)值域肯定也为R
如果g′(x)与x轴存在两个交点，无论开口向上还是向下，g(x)肯定是先增后减再增，或者先减后增再减，这时g(x)依然没有最小值
∴m=1/3