Question

如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA

Answer 1

解：（1）设OA所在直线的
函数解析式
为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x．（2分）
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴
抛物线
函数解析式为y=（x-m）2+2m
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．（2分）
②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．
此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2．（2分）
（3）由（2）②知：P（2，3），M（1，2）；
则PM=
2；
①PM=PN=
2，则N1（2，3+
2），N2（2，3-
2）；
②PM=MN，根据
等腰三角形
三线合一
的性质知：N3（2，1）；
③PN=PM，此时∠PMN4=∠N4PM=∠PM3M，则：
△PMN4∽△PN3M，
得：
PM2
=PN4•PN3，
即：PN4=PM2÷PN3=1，
故N4（2，1）；
综上可知：符合要求的点N的坐标为：
N1（2，3+
2）；N2（2，3-
2）；N3（2，1）；N4（2，1）．（4分）
（4）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y=（x-1）2+2，
①过P作直线L∥OA，设直线L：y=2x+h，则有：
4+h=3，h=-1；
∴直线L：y=2x-1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x-1y=(x-1)2+2，
解得
{x=2y=3；
此时抛物线与直线L只有一个交点为P（2，3），故此种情况不成立；
②在点A的上方截取AD=AP，即D（2，5）；
过D作直线L′∥OA，设直线L′：y=2x+h′，
则有：4+h′=5，h′=1；
∴直线L′：y=2x+1，联立抛物线的解析式有：
{y=2x+1y=(x-1)2+2，
解得
{x=2+2y=5+22，
{x=2-2y=5-22；
抛物线上存在点
Q1
（2+
2，5+2
2），
Q2
（2-
2，5-2
2），使△QMA与△PMA的面积相等．（2分）

Answer 2

解：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x.
（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）
∴顶点M的坐标为（m，2m）
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）²+2m
∴当x=2时，y=（2-m）²+2m=m²-2m+4（0≤m≤2）
∴点P的坐标是（2，m²-2m+40).
②∵PB=m²-2m+4=（m-1）2+3，
又∵0≤m≤2，
∴当m=1时，PB最短．

Answer 3

1）设抛物线顶点m的横坐标为m，则用m的代数式表示点p的坐标；当m为何值时，线段pb最短。
解：b(2,0),m(m,2m),抛物线方程变为y=(x-m)^2+2m,令x=2,得y=(2-m)^2+2m=m^2-2m+4,
∴p(2,m^2-2m+4),pb=m^2-2m+4=(m-1)^2+3,当m=1时pb最短。
2）当线段pb最短时，相应的抛物线上是否存在点q，使⊿qma的面积与⊿pma的面积相等，若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由
解：抛物线方程为y=(x-1)^2+2,m(1,2)，p(2,3).
作mc⊥x轴于c,s△pma=梯形amcb的面积-梯形pmcb的面积=3-5/2=1/2.
设q(x,(x-1)^2+2),作qd⊥x轴于d.
s△qma=|梯形amcb的面积+梯形qabd的面积-梯形qmcd的面积|
=|3+[6+(x-1)^2]*(x-2)/2-[4+(x-1)^2]*(x-1)/2|=|x^2-4x+3|/2,
s△qma=s△pma,即x^2-4v+3=土1，解得x=2(舍)，x=2土√2。
∴q(2+√2，5+2√2)或q(2-√2，5-2√2)。

Answer 4

：（1）设OA所在直线的函数解析式为y=kx，
∵A（2，4），
∴2k=4，
∴k=2，
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x；
（2）∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y=（x-m）2+2m．
∴当x=2时，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标是（2，m2-2m+4）．

Answer 5

(1)OA过点O（0，0）和A（2，4）
过OA直线方程为：y=2x
(2)M横坐标为m，有2>=m>=0
则抛物线在移动过程中的方程为：
y=（x-m）²+2x
与x=2联立求得焦点坐标M（2，m²-4m+8）
线段PB最短，则m²-4m+8最小，最小值为4。